論理問題（自分の席に座れる確率）

自分の席に座れる確率

問題

お笑い劇場のシアターに１００人の観客が並んでいます。
観客は、自分が座る座席番号が書かれたチケットを持っています。
座席番号１番のチケットを持っている人から順番に座席に座っていきます。
ところが、１番の人はチケットを紛失し番号も覚えていなかったため、適当な席に勝手に座ってしまいました。

２番と書かれたチケットを持った観客以降は、自分の席が空いていればそこに座り、空いていなければ空いている空席を適当に選んで勝手に座っていくとします。
すると最後の１００番のチケットを持った観客が、本来自分の席である１００番の席に座ることができる確率はどのくらいでしょうか？

解説・答え

まず、チケットをなくしてわからなくなってる１番目の人が、たまたま本来自分の席である１番目の席に座ったとするならば、２番目から９９番目の人も当然自分の席が空いているので、本来の自分の席に座ることができ、１００番目の人は自分の席、つまり１００番の席に座ることができます。

もし、１番目の人が間違えて１００番目の席に座ってしまったならば、１番の席が空席になり、２番から９９番の席も空いているので、２番目から９９番目の人は自分の席に座ります。

そして１００番目の人は、本来は１００番の席に座ってしまった１番目の人が座るべき１番の席が空いているので、１番の席に座ることになります。

１番目の人が１番の席に座る確率も、１００番の席に座る確率もともに１／１００になります。

さて問題は、１番目の人が１番目でも１００番目でもないｎ番目の席に座ってしまった場合です。

この場合は、２番目からｎー１番目までの人は、自分の席が空いているわけですから、本来の自分の席に座ります。

そしてｎ番目の人は自分の席が１番目の人に座られてしまっているので、別の席に座ることになります。

このとき空いている席は、１番、１００番、そしてｎ＋１番から９９番の席となり、このいずれかにｎ番目の人は座ることになります。

ここでｎ番目の人が１番目の席に座れば、ｎ＋１番目以降の人は、本来の自分の席が空いていることになるので、そこに座ることができ、１００番目の人も１００番の席に座ることができます。

ｎ番目の人が１００番の席に座れば、ｎ＋１番から９９番の人は開いている本来の自分の席に座り、１００番目の人は、最後まで残った１番の席に座ることになります。

さて、もしｎ番目の人が１番でも１００番でもないｎ＋１番から９９番目までのいずれかにあたるｍ番の席に座ってしまった場合は、また同じ繰り返しになります。

つまり、ｍ番目の人が座ろうとしたときに、空いているのは１番の席と１００番の席とｍ＋１番から９９番の席になります。

これをずっと繰り返して、１００番に近づいていきます。

もしｍ番目の人が９８番の席に座ったら、９７番までの人は自分の席に座り、９８番目の人の番の時には９８番の席にｍ番の人が座っているわけです。

そして空いているのは、まだ座られていない１番の席、そして１００番の席、９９番の席の３つです。

９８番目の人が１番の席に座れば、９９番目の人は自分の席である９９番目の席に座り、１００番目の人も自分の席である１００番の席に座ることができます。

９８番目の人が１００番の席に座った場合は、９９番目の人は自分の席が空いているので自分の９９番の席に座り、１００番目の人は、９８番目の人に１００番の席が座られてしまい、９９番目の席も９９番目の人が座っていて、空いている１番の席に座ることになります。

もし９８番目の人が９９番目の席に座ったとすれば、今度は９９番目の人が座るときに、空いているのは１番の席か１００番の席です。

つまり、いずれにしろ最後まで残るのは１番の席か１００番の席のいずれかになります。

そして、任意のｎ番目の人が１番の席を選ぶか１００番の席を選ぶかの確率は同じです。

最終的には、１００番目の人が本来の自分の席である１００番の席に座れる確率は５０％、そして、もし座れなかった場合の残りの５０％は、１番の席に座ることになります。